趣味的数学知识

数字黑洞

任意选一个四位数（数字不能全相同），把所有数字从大到小排列，再把所有数字从小到大排列，用前者减去后者得到一个新的数。重复对新得到的数进行上述操作，7
步以内必然会得到 6174。

例如，选择四位数 6767：

7766 – 6677 = 1089

9810 – 0189 = 9621

9621 – 1269 = 8352

8532 – 2358 = 6174

7641 – 1467 = 6174

……

6174这个“黑洞”就叫做 Kaprekar 常数。对于三位数，也有一个数字黑洞——495。

3x+1问题

从任意一个正整数开始，重复对其进行下面的操作：如果这个数是偶数，把它除以 2 ；如果这个数是奇数，则把它扩大到原来的 3 倍后再加 1
。你会发现，序列最终总会变成 4, 2, 1, 4, 2, 1, … 的循环。

例如，所选的数是 67，根据上面的规则可以依次得到：

67, 202, 101, 304, 152, 76, 38, 19, 58, 29, 88, 44, 22, 11, 34, 17,

52, 26, 13, 40, 20, 10, 5, 16, 8, 4, 2, 1, 4, 2, 1, …

数学家们试了很多数，没有一个能逃脱“421陷阱”。但是，是否对于所有的数，序列最终总会变成 4, 2, 1 循环呢？

这个问题可以说是一个“坑”——乍看之下，问题非常简单，突破口很多，于是数学家们纷纷往里面跳；殊不知进去容易出去难，不少数学家到死都没把这个问题搞出来。已经中招的数学家不计其数，这可以从
3x + 1 问题的各种别名看出来：3x+1问题又叫 Collatz 猜想、Syracuse 问题、 Kakutani 问题、 Hasse 算法、 Ulam
问题等等。后来，由于命名争议太大，干脆让谁都不沾光，直接叫做 3x+1问题算了。

直到现在，数学家们仍然没有证明，这个规律对于所有的数都成立。

特殊两位数乘法的速算

如果两个两位数的十位相同，个位数相加为 10，那么你可以立即说出这两个数的乘积。如果这两个数分别写作 AB 和 AC，那么它们的乘积的前两位就是 A
和 A+1 的乘积，后两位就是 B 和 C 的乘积。

比如，47 和 43 的十位数相同，个位数之和为 10，因而它们乘积的前两位就是 4×(4+1)=20，后两位就是
7×3=21。也就是说，47×43=2021。

类似地，61×69=4209，86×84=7224，35×35=1225，等等。

这个速算方法背后的原因是，(10x+y) (10x+(10-y)) = 100x (x+1) + y(10-y) 对任意 x 和 y 都成立。